Se cumple que 1<2y syss 1/2<y, 1>2y syss 1/2>y, 1=2y syss 1/2=y. Además de que en R está acotada.
Entonces tomo una partición donde pueda dividir con una línea en 1/2 al eje Y.
Con esa partición y con la función f calculo la suma inferior y la superior y me dan lo mismo, porque con la densidad de los racionales se cumple que el máximo va a ser 1 y el mínimo 2y cuando "y" está debajo del 1/2 y el máximo va a ser 2y y el mínimo 1 cuando "y" esté arriba del 1/2.
Pero como son iguales, entonces f es integrable sobre R.
Piden demostrar que f NO lo es... ¿cuál fue mi error? ¿Quieren ver en foto lo que hice? 🤔
Hola Bennetts:
No es claro qué partición en particular estás considerando, así que supondré que estás tomando la partición {0,1} X {0, 1/2, 1} de [0,1] x [0,1]. Si calculas la suma superior en el subrectángulo [0,1] x [0, 1/2] obtienes que es 1/2, mientras que si la calculas en [0,1] x [1/2 , 1] entonces es 1; por otro lado, si calculas la suma inferior sobre [0,1] x [0, 1/2], entonces vale 0 mientras que la suma inferior sobre [0,1] x [1/2 , 1] vale 1/2. Entonces, por un lado, la suma superior vale 3/2 mientras que la suma inferior vale 1/2, esto es, no son iguales. Si no me equivoqué en lo que te acabo de escribir, entonces tu afirmación no es cierta y te sugiero que revises tus cuentas.
Lo que se espera que hagan es que utilicen el criterio de integrabilidad vía épsilon, que en este caso significa que deben exhibir un épsilon > 0 tal que para cualquier partición P se cumple que (Suma superior)(f, P) - (suma inferior)(f, P) >= épsilon.
Si algo sigue sin ser claro, no dudes en preguntar nuevamente.
Saludos.