Hola, una pregunta, para la demostración del Lema (minuto 29 aprox) me quedó una duda, si A=cerradura de A y f continua en todo A, el caso cuando x esta en A decimos que como Fa es discontinua y como Fa=F ya salió por que F también sería discontinua, pero por el dibujo entendí que toda la frontera de A es discontinua para Fa pero continua en F en caso de que A=cerradura de A, ¿pero una cosa no contradice a otra?
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Cálculo diferencial e integral IV
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Hola Stephanie
Primero, una disculpa por tardar en responder.
Ahora, debo agradecerte por la pregunta, pues me ayudo a notar que mi demostración no era correcta. Te platico el esbozo de la demostración que añadiré, al menos en las notas:
Sea x∈D_{f_A,R}. Podemos considerar tres casos:
x∈F r(A). Claramente en este caso terminamos.
x∈int(A). En este caso f_{A}(x)=f(x) y como x∈int(A) sí podemos decir que f es discontinua en x.
x∈ext(A). En este caso existe una bola B_r(x) contenida en el complemento de A. Luego, f_{A}(y)=0 para toda y∈B_r(x) ∩ R, con lo que f_{A} es continua en x, lo cual no puede ocurrir. Es decir, este caso no es posible.
Saludos